Faça o tratamento do exception na partial class da sua página Default.aspx e no catch use um javascript para mostrar tipo um "MessageBox", fica assim:
Na default.aspx.cs
CODE
try
{
// Neste bloco você põe o código que acessa sua classe.
}
catch (Exception ex)
{
// qualquer exceção que ocorrer lá na classe vai cair aqui.
Label1.Text = "<script type='text/javascript'>window.alert('"+ ex.Message +"');</script>";
}
E na sua classe C#
CODE
try
{
// Aqui fica o código que poderá gerar exceção
}
catch (Exception ex)
{
// Este código lança a exception, ela vai cair lá no catch da sua Default.aspx.cs
throw new Exception("Erro na classe teste",ex);
}